Simulationen auf der Kugel: Anordnungen von Punkten und Energieberechnungen
Maturarbeit an der Kantonsschule Baden, 2007
Autoren: Martin Lanter und Lucas Brönnimann
Betreuer: Hansruedi Schneebeli und Martin Speck
Zusammenfassung: Die optimale Verteilung von einer beliebigen Anzahl Punkten über eine Kugeloberfläche, so dass die Abstände zwischen ihnen möglichst gross sind, ist ein ungelöstes Problem der Mathematik. In dieser Arbeit präsentieren wir zwei Algorithmen um eine numerische Lösung zu finden. Der erste, deterministische Algorithmus simuliert die Punkte als sich abstossende Punktladungen und berechnet in welcher Position sich die Punkte im Gleichgewicht befinden. Der zweite, stochastische Algorithmus verschiebt die Punkte wiederholt zufällig über die Kugel um stetig bessere Verteilungen zu finden (man denke an die darwinistische Evolution).
Wir vergleichen die resultierenden Punkteverteilungen mit den Eckpunkten der fünf Platonischen Körper. Die optimalen Verteilungen von 4, 6 und 12 Punkten entsprechen je den Platonischen Körpern Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder, doch die optimale Verteilung von 8 und 20 Punkten entsprechen nicht dem Würfel und dem Dodekaeder. Stattdessen finden wir ungleichmässigere Körper: Ein Antiprisma und den von uns getauften Vigintieder. Desweitern beweisen wir, dass für jede Verteilung von n über der Einheitskugel verteilten Punkte mit dem Schwerpunkt im Nullpunkt gilt, dass die Summe der quadrierten Punktabstände n^2 ergibt.
Simulationen auf der Kugel - Anordnungen von Punkten und Energieberechnungen (PDF)
Mit dieser Arbeit haben wir am 41. nationalen Wettbewerb von Schweizer Jugend Forscht teilgenommen und wurden mit einem "Exzellent" ausgezeichnet. Für den 19. European Union Contest for Young Scientists in Valencia (2008) verfassten wir noch eine gekürzte englische Version: Simulations on the Sphere: Distribution of Points and Calculations of Energy mit Anhang.
Besonders interessant ist die optimale Verteilung für 8 Punkte. Statt die Punkte so über die Kugeloberfläche zu verteilen, dass sie die Eckpunkte eines Würfels bilden, ist es besser, eine quadratische Seite des Würfels um 45° zu drehen (Antiprisma). Eine kleine Zusammenfassung der Erkenntnisse für 8 Punkte.